Por definición, los números perfectos son aquellos números naturales que la suma de sus divisores es el número (sin incluir el mismo número), por ejemplo 6 es un número perfecto porque sus divisores (1, 2, 3), sumados dan 6.
Hasta la fecha los únicos números perfectos encontrados son pares, y de acuerdo al teorema de Euclides-Euler, quienes demostraron que para que un número par sea perfecto, debe ser igual a (2^p - 1)2^(p-1), siendo 2^p - 1 primo.
Los números primos 2^p - 1, se conocen como los primos de Mersenne. Se conjetura que son infinitos y solo se han descubierto 51 primos de esta forma, por lo tanto, solo se conocen 51 números perfectos pares.
En cuanto a los números perfectos impares, hasta la fecha, no se ha encontrado ninguno, se considera el problema matemático más antiguo sin solución. Por computador se ha verificado hasta 10^220, sin encontrar un número perfecto impar.
En el presente artículo te explicaré cómo es la estructura de los números perfectos pares y por qué no pueden existir números perfectos impares.
Un poco de historia
La historia de los números perfectos forma parte de una de las más antiguas y fascinantes ramas de las matemáticas: la teoría de los números. El primero en referirse a ellos fue nada menos que Euclides, en su influyente obra “Los elementos”, publicada en el año 300 a. C. Solo se han encontrado números perfectos pares, no así números perfectos impares por lo que se considera el problema matemático más antiguo del mundo.
El teorema de Euclides-Euler es un teorema de la teoría de números que relaciona los números perfectos pares con los números primos de Mersenne. Afirma que un número par es perfecto sí y solo sí tiene la forma ( 2 p − 1 )(2^p - 1)2^(p-1), donde 2^p - 1 es un numero primo conocido como primos de Mersenne.
El teorema lleva el nombre de los matemáticos Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) [1] y Leonhard Euler (1707 - 1783) [2], que demostraron respectivamente los aspectos “sí” y “sólo sí” del teorema.
Definiciones:
Np Número par. Ni Número impar (puede ser un número primo o un número compuesto de primos). Npp Número par perfecto. Nip Número impar perfecto. P Números primos para n ≥ 1 y Pn ≥ 3 primo. Ns suma de todos los factores de Np o Ni (no incluye a Np o Ni).
Mp = 2^p -1 primos de Mersenne ( p un número primo, pero no todos los números primos). Debido a la forma exponencial de estos primos su tamaño cada vez va aumentando por lo que solo se conocen 51 primos de esta forma.
El último descubierto en diciembre de 2018 (2^82589933-1) con más de 24 millones de cifras.
1. Los números pares Np
Los números pares Np solo tienen dos formas: Np = 2^n o Np = Ni2^n, para n ≥ 1
De acuerdo a la formula Euclides-Euler, los Npp solo pueden tener la siguiente forma Npp = (2^p - 1)2^(p-1).
Lo anterior significa que los números pares 2^n o Ni2^n para n ≥ 1 siendo Ni ≠ Mp no son Npp.
En los números pares que no son perfectos Np > Ns o Np < Ns, dependiendo del valor de 2^n que acompañe a Ni. Si 2^(n+1) - 1 es menor al menor número primo contenido en Ni, entonces Np > Ns, excepto 2*5*7=70<1+2+5+7+10+14+35=74.
Si 2^(n+1) - 1 es igual o mayor al menor número primo contenido en Ni, entonces Np < Ns, y en el caso de Np=2^n, siempre Npₚ=2^n > Nₛ=2^n - 1.
Ejemplos:
Np=2*7*11=154> Nsₛ=1+2+7+11+14+22+77=134 (porque 2^2 - 1=3<7)
Np=2²*7*11=308< Ns=1+2+4+7+11+14+22+28+44+77+154=354 (porque 2^3 - 1=7)
2. Los números impares Ni
Todos los números impares Ni o son primos o son compuesto de primos
Ni = Pn donde Pn ≥ 3 es primo y n ≥ 1.
Ni = Pn^m donde Pn ≥ 3 es primo, n ≥1 y m ≥ 2.
Ni = (P1^m1P2^m2 … Pn^mk), para n ≥1 y los exponentes mk ≥ 1 pueden ser iguales o diferente y (P1, P2, …, Pn) ≥ 3 números primos.
Para todos los casos de Ni siempre Ni > Ns por lo tanto no pueden ser números perfectos.
Veamos:
Caso Ni = Pn donde Pn ≥ 3 es primo y n ≥ 1 o Ni = Pn^m donde Pn ≥ 3 es primo, n ≥ 1 y m ≥ 2, no pueden ser números perfectos:
Por definición Ni = Pn > Ns = 1, no puede ser un número perfecto.
Caso Nᵢ = Pn^m donde Pn ≥ 3 es primo, n ≥1 y m ≥ 2
Se tiene que Ni = 1 + (sumatoria de todos los Pn^m desde m = 1, hasta m - 1), por lo tanto Ni = Pn^m > Ns, porque Pn^m >1+ (sumatoria de todos los Pn^m desde m = 1, hasta m - 1) y como Pn ≥ 3, por lo tanto Ni no puede ser número perfecto.
Caso Ni = (P1^m1P2^m2 … Pn^mk), para n ≥1 y los exponentes mk ≥ 1 pueden ser iguales o diferente y (P1, P2, … , Pn) ≥ 3 números primos:
Veamos primero el caso de Ni = P1Pn siendo P1 < Pn. Se tiene que:
Ni = P1Pn > Ns = 1+P1+Pn porque (1+P1 < Pn) y Ni no puede ser número perfecto.
Por inducción se puede continuar la demostración que se puede ver en: https://www.researchgate.net/publication/380513406, llegándose a que siempre para Ni = (P1^m1P2^m2 … Pn^mk) > Ns, por lo tanto Ni no puede ser número perfecto.
En conclusión, ningún número impar puede ser perfecto.
Referencias:
[1] Euclides, (1956), The Thirteen Books of the Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III-IX) (2ª edición), Dover, pp. 421-426. Ver en particular Prop. IX.36.
[2] Euler Lonhard Euler, (1849), «De numeris amicibilibus» [On amicable numbers], Commentationes arithmeticae (en latín) 2, pp. 627-636. Leído por primera vez ante la Berlín Academy el 23 de febrero de 1747, y publicado de modo póstumo. Ver en particular la sección 8, p. 88.